數(shù)學(xué)運(yùn)算通?？疾閷W(xué)生對數(shù)學(xué)基本思維和計(jì)算的掌握程度，其中“排列組合”一直都是數(shù)量關(guān)系中相對較難的一個(gè)章節(jié)，要想學(xué)好排列組合，不僅要掌握排列、組合、分類、分步等基本概念，更要熟悉具體的技巧方法。今天，我們就來一起看一下其中一種比較常用的解題方法，插空法。

　　什么樣的題型可以使用插空法呢?我們來看一個(gè)例子：

　　【示例】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?

　　A. 36

　　B. 50

　　C. 100

　　D. 400

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類。

　　第二步，利用每側(cè)柏樹“相等”可得，每側(cè)3棵柏樹，松樹有9-3=6(棵)。根據(jù)“不相鄰”用插空法，去掉起點(diǎn)和終點(diǎn)，6棵松樹之間有5個(gè)空，故柏樹種植情況有=10(種)。

　　第三步，根據(jù)“兩側(cè)”植樹，可得總的種植方法為10×10=100(種)。

　　因此，選擇C選項(xiàng)。

　　由于本題明確要求柏樹“不相鄰”，可優(yōu)先排好松樹，然后將柏樹插入松樹形成的空隙中，即可滿足題意。此題需要注意，道路的起點(diǎn)與終點(diǎn)兩側(cè)種植的都必須是松樹，故柏樹在插空時(shí)，每側(cè)只能選擇6棵松樹間的5個(gè)空，不可插到松樹的外側(cè)。

　　除了上述題目，我們在今后做題過程中，遇到什么樣特征的題目可以使用插空法解題呢?通常情況下，分為以下三類：

　?、俪霈F(xiàn)要求不相鄰、不相連、不連續(xù)等標(biāo)志詞;

　　【例】某興趣組有男女生各5名，他們都準(zhǔn)備了表演節(jié)目。現(xiàn)在需要選出4名學(xué)生各自表演1個(gè)節(jié)目，這4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生連續(xù)表演節(jié)目。那么，不同的節(jié)目安排有多少種?

　　A. 1200

　　B. 2400

　　C. 3000

　　D. 3600

　　【答案】B

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類。

　　第二步，根據(jù)不能由男生連續(xù)表演節(jié)目可采用插空法，先從男生和女生中選取所需要的人數(shù)，然后安排女生表演節(jié)目，最后將男生的節(jié)目插入到女生的節(jié)目之間，需要考慮順序。有以下兩種情況：

　　第三步，總安排方式為1200+1200=2400(種)。

　　因此，選擇B選項(xiàng)。

　　此題與示例類似，但在解題過程中需考慮分類與分步，當(dāng)選擇了1個(gè)男生時(shí)，無論如何安排都不會“連續(xù)”;當(dāng)選擇了3個(gè)男生時(shí)，無論如何安排都一定“連續(xù)”;當(dāng)2男2女時(shí)，需先安排好女生再將2個(gè)男生插到女生排列后形成的空中去，即可滿足題意，此時(shí)先安排2名女生，可形成3個(gè)空。

　?、诔霈F(xiàn)要求至少有2個(gè)相鄰的標(biāo)志詞;

　　【例】某籃球隊(duì)12個(gè)人的球衣號碼是從4到15的自然數(shù)，若從中選出3個(gè)人參加三對三籃球比賽，則選出的人中至少有兩人的球衣號碼是相鄰自然數(shù)的概率為多少?

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查概率問題，屬于基本概率，用插空法解題。

　　第二步，要求選出的人中至少有兩人相鄰的概率，則可用1減去選出的3個(gè)人均不相鄰的概率。12個(gè)人選出3人后剩9個(gè)人，可以想象為把選出的3個(gè)人插到9個(gè)人所形成的10個(gè)空中，則這三人必定均不相鄰，故三個(gè)人均不相鄰的概率。

　　第三步，因此至少兩個(gè)人相鄰的概率。

　　因此，選擇C選項(xiàng)。

　　此題與示例類似，用插空法解題，但區(qū)別在于此題若正面求解則相對情況較多，故可反向思考用總的情況減去“不符合題意”(即3個(gè)人的號碼均“不相鄰”)的情況，此時(shí)便轉(zhuǎn)化為了插空法的題目特征，可順利進(jìn)行求解。

　?、鄢霈F(xiàn)相鄰的2個(gè)中至少有1個(gè)有特殊要求的標(biāo)志詞。

　　【例】某條道路一側(cè)共有20盞路燈。為了節(jié)約用電，計(jì)劃只打開其中的10盞。但為了不影響行路安全，要求相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，則共有( )種開燈方案。

　　A. 2 B. 6

　　C. 11 D. 13

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用插空法解題。

　　第二步，一側(cè)共20盞燈，打開其中10盞，則熄滅10盞，相鄰兩盞燈中至少有一盞是打開的，則熄滅的燈不能相鄰，將10盞熄滅的燈插到10盞打開的燈形成的11個(gè)空中，共有=11(種)開燈方案。

　　因此，選擇C選項(xiàng)。

　　這道題目相對較為復(fù)雜，雖然也使用到插空法，但解題的難點(diǎn)在于將已知條件轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的語言，相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，即關(guān)閉的路燈“不相鄰”，只有理解了此題的關(guān)鍵信息才可利用插空法順利解題。

　　考生可以發(fā)現(xiàn)，很多插空法的題目只要能夠識別題型，或者能夠讀懂出題人的意圖，那么很多分?jǐn)?shù)都是可以拿到的。但是要想熟練掌握并在考場上靈活運(yùn)用這種方法還需要大量的題目練習(xí)，考生可以在華圖在線題庫中多多練習(xí)以熟練運(yùn)用。

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