最值問(wèn)題中，有一種特殊的構(gòu)造，涉及到兩個(gè)及以上的集合的最值，如：某興趣班共有學(xué)生45人，其中喜歡音樂(lè)、舞蹈、美術(shù)的學(xué)生分別為36、34、31人，問(wèn)這三項(xiàng)都喜歡的學(xué)生至少有多少人?
這道湖北選調(diào)的真題中，三個(gè)集合分別為喜歡音樂(lè)的學(xué)生、喜歡舞蹈的學(xué)生、喜歡美術(shù)的學(xué)生，問(wèn)都喜歡的最少是多少，這種“滿足所有集合的最小值”，稱之為多集合反向構(gòu)造問(wèn)題。
這種問(wèn)題怎么解決呢?我們以這道題為例看一下正反兩種思路。
第一種反向思路，反向——加和——做差。
?、傧确謩e反向求出各集合的補(bǔ)集：不喜歡音樂(lè)、舞蹈、美術(shù)的學(xué)生，分別有9、11、14人;
?、谌绻@9、11、14人毫無(wú)重復(fù)，則此時(shí)不都喜歡的最多，有9+11+14=34(人);
③不都喜歡的最多，那么都喜歡的最少，有45-34=11(人)。
這種思路的核心是“讓不都喜歡的無(wú)任何重復(fù)，則不滿足要求的最多”。
第二種正向思路，集合加和——和-總數(shù)×(所需集合個(gè)數(shù)-1)。
?、傧葘⑾矚g音樂(lè)、舞蹈、美術(shù)的學(xué)生全加和，即喜歡任意科的總?cè)舜螖?shù)有36+34+31=101(人)。
②總數(shù)45人，假設(shè)全部喜歡兩科，那喜歡的總?cè)舜螖?shù)中去掉這45×2次，還余下的喜歡的人必然是喜歡三科的，有101-45×2=11(人)。
這種思路的核心是“總?cè)舜?喜歡人次的極限值，則滿足要求的最少”。
值得注意的是，在小學(xué)奧數(shù)中，這一模型叫“容斥極值”，往往使用正向思路的時(shí)候居多，導(dǎo)致近幾年的公考真題更多使用正向解法。下面讓我們從易到難看幾道真題。
【例1】(2018廣東)某軟件公司對(duì)旗下甲、乙、丙、丁四款手機(jī)軟件進(jìn)行使用情況調(diào)查，在接受調(diào)查的1000人中，有68%的人使用過(guò)甲軟件，有87%的人使用過(guò)乙軟件，有75%的人使用過(guò)丙軟件，有82%的人使用過(guò)丁軟件。那么，在這1000人中，使用過(guò)全部四款手機(jī)軟件的至少有( )人。
A.120
B.250
C.380
D.430
【答案】A
【解析】第一步，本題考查最值問(wèn)題，屬于反向構(gòu)造。
第二步，本題使用的多集合反向構(gòu)造方法是：反向——求和——做差。
反向：沒(méi)使用過(guò)甲軟件有1-68%=32%;沒(méi)使用過(guò)乙軟件的有1-87%=13%;沒(méi)使用過(guò)丙軟件的有1-75%=25%，沒(méi)使用過(guò)丁軟件的有1-82%=18%;
求和：未使用過(guò)甲乙丙丁四款軟件的人最多有32%+13%+25%+18%=88%;
做差：全部四款軟件都使用過(guò)的最少有1-88%=12%。
第三步，四款軟件都使用過(guò)的人至少為1000×12%=120(人)。
因此，選擇A選項(xiàng)。
這種純套路的題目現(xiàn)在考查的越來(lái)越少，因此同學(xué)們還需要掌握正向思路。來(lái)看幾道難題。
【例2】(2018國(guó)考)書(shū)法大賽的觀眾對(duì)5幅作品進(jìn)行不記名投票。每張選票都可以選擇5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在選擇不超過(guò)2幅作品時(shí)才為有效票。5幅作品的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的69%、63%、44%、58%和56%。問(wèn)本次投票的有效率最高可能為多少?
A.65%
B.70%
C.75%
D.80%
【答案】B
【解析】第一步，本題考查最值問(wèn)題，屬于多集合反向構(gòu)造。
第二步，①首先賦值觀眾100人，那么5幅作品得票數(shù)分別是69、63、44、58、56，共290票，即總共有290個(gè)投票人次。
②假設(shè)所有投票觀眾都投2幅作品，則總?cè)舜芜€多出290-100×2=90人次。
?、凼Ｓ嗟?0人次分到已經(jīng)投了2次的票上，如果每張?jiān)俜?次則無(wú)效票數(shù)90張，有效票10張;如果每張?jiān)俜?次則無(wú)效票數(shù)45張，有效票55張;如果每張?jiān)俜?次則無(wú)效票數(shù)30張，有效票70張?？芍行首罡呤?0%。
因此，選擇B選項(xiàng)。
【例3】(2018陜西)觀眾對(duì)五位歌手的歌曲進(jìn)行投票，每張選票都可以選擇五首歌曲中的一首或多首，但只有選擇不超過(guò)3首歌曲的選票才是有效票，五首歌曲的得票數(shù)分別為總票數(shù)的82%，73%，69%，51%和45%，那么本次投票的有效率最高可能為：
A.95%
B.90%
C.85%
D.80%
E.75%
F.70%
G.65%
H.60%
【答案】B
【解析】第一步，本題考查最值問(wèn)題，屬于多集合反向構(gòu)造。
第二步，①賦值共有100人進(jìn)行投票，則一共投票82+73+69+51+45=320(票)。即總共有320個(gè)投票人次。
②假設(shè)所有投票觀眾都投3位歌手，則總?cè)舜芜€多出320-100×3=20人次(票)。
?、凼Ｓ嗟?0人次分到已經(jīng)投了3次的票上，如果每張?jiān)俜?次則無(wú)效票數(shù)20張，有效票80張;如果每張?jiān)俜?次則無(wú)效票數(shù)10張，有效票90張。有效率最高為90%。
因此，選擇B選項(xiàng)。
通過(guò)這兩道類似的題目可以發(fā)現(xiàn)，這一類多集合反向構(gòu)造問(wèn)題，題目考查難度增大，一味背誦“套路”無(wú)濟(jì)于事，因此要理解多集合反向構(gòu)造的兩種思路，尤其是接觸的少的正向思路，一定要理解基礎(chǔ)邏輯，多多練習(xí)!
祝大家攻堅(jiān)克難、金榜題名!
